\chapter{高斯定律的数学推导 (1835)}
\author{卡尔·弗里德里希·高斯}
\date{1835年}
	
	\begin{abstract}
		本文详细阐述1835年高斯提出的电通量定理的数学推导过程。该定律建立了闭合曲面电通量与包围电荷之间的定量关系，成为麦克斯韦方程组的基石之一。通过散度定理和平方反比律的严格数学证明，我们展示了电场强度曲面积分与电荷量的普适关系。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	静电学的基本问题在于确定电荷分布与产生的电场之间的关系。库仑定律(Coulomb, 1785)确立了单点电荷的电场分布，但对于复杂电荷分布的情形，需要更普遍的描述。1835年，高斯通过将曲面积分与体积积分相关联的数学方法，提出了著名的电通量定理。
	
	\section{数学预备知识}
	\subsection{立体角概念}
	对于闭合曲面$S$包围的点$P$，定义立体角：
	\begin{equation}
		\Omega = \iint_S \frac{\vu{r}\cdot \dd{\vb{S}}}{r^2}
	\end{equation}
	其中$\vu{r}$为径向单位向量。
	
	\subsection{散度定理}
	对于任意向量场$\vb{F}$，有：
	\begin{equation}
		\iiint_V (\nabla \cdot \vb{F}) \dd{V} = \iint_{\partial V} \vb{F} \cdot \dd{\vb{S}}
	\end{equation}
	
	\section{单点电荷情形}
	考虑位于原点的点电荷$q$，其电场为：
	\begin{equation}
		\vb{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \vu{r}
	\end{equation}
	
	计算通过任意闭合曲面$S$的电通量：
	\begin{equation}
		\Phi_E = \iint_S \vb{E} \cdot \dd{\vb{S}} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \iint_S \frac{\vu{r}\cdot \dd{\vb{S}}}{r^2}
	\end{equation}
	
	分两种情况讨论：
	\begin{enumerate}
		\item 当曲面包含电荷时，立体角积分为$4\pi$：
		\begin{equation}
			\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0}
		\end{equation}
		
		\item 当曲面不包含电荷时，立体角积分为零：
		\begin{equation}
			\Phi_E = 0
		\end{equation}
	\end{enumerate}
	
	\section{离散电荷系统的推广}
	对于$n$个点电荷系统，根据叠加原理：
	\begin{equation}
		\Phi_E = \sum_{i=1}^n \Phi_{E_i} = \frac{1}{\epsilon_0} \sum_{\text{内}} q_i
	\end{equation}
	
	\section{连续电荷分布的普遍形式}
	对于电荷密度$\rho(\vb{r})$的连续分布，有：
	\begin{align}
		\Phi_E &= \iint_S \vb{E} \cdot \dd{\vb{S}} = \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_V \rho \dd{V} \\
		&= \frac{1}{\epsilon_0} Q_{\text{enc}}
	\end{align}
	应用散度定理可得微分形式：
	\begin{equation}
		\nabla \cdot \vb{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
	\end{equation}
	
	\section{讨论}
	高斯定律的重要意义在于：
	\begin{itemize}
		\item 建立了电场与电荷的普适关系
		\item 为求解对称电荷分布的电场提供了简便方法
		\item 成为后来麦克斯韦方程组的核心组成部分
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	高斯通过严格的数学推导，证明了电通量与包围电荷之间的基本关系。这一定律不仅完善了静电学理论体系，更为电磁场的数学描述奠定了基础。
	
	\section*{致谢}
	感谢威廉·韦伯在实验验证方面的重要贡献。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{gauss1835}
		Gauss, C. F. (1835). \emph{Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus}. Göttingen.
		
		\bibitem{maxwell1865}
		Maxwell, J. C. (1865). \emph{A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field}. Philosophical Transactions of the Royal Society of London.
	\end{thebibliography}
	